A VANTAGEM DO USO DOS MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM CÁLCULO NUMÉRICO

a vantagem do uso dos métodos computacionais em cálculo numérico

Profº Raul Enrique Cuore Cuore

Resumo

A Vantagem do uso dos métodos computacionais em cálculo numérico é enorme. Com a popularização de computadores de baixo custo e de alta capacidade de processamento, praticamente todas as áreas de exatas tem feito uso cada vez mais intensivo dos métodos e técnicas computacionais na resolução de problemas, para os quais as soluções manuais são impraticáveis e/ou imprecisas. Este trabalho tenta dar uma visão geral sobre as vantagens dos softwares e simulações computacionais em relação ao cálculo numérico.

Palavras-chave: Cálculo; Métodos; Software.

1 introdução

O Cálculo Numérico consiste na obtenção de soluções aproximadas de problemas de Álgebra Linear e Não-Linear, Estatística e Análise de Dados, Cálculo Diferencial e Integral e outros métodos matemáticos, utilizando métodos numéricos. Desta forma, o uso do computador e os correspondentes softwares como ferramenta de trabalho de cálculo numérico requer o entendimento dos seus princípios de operação e de como eles interferem nos resultados obtidos. Geralmente, é aceito como verdade que computadores não erram e que são os usuários é que cometem enganos. Na realidade, o computador, como dispositivo de cálculo numérico, “comete” erros devido às suas características intrínsecas e o papel do usuário é quantificar esses erros e encontrar formas de, se não eliminá-los, ou pelo menos minimizá-los através de métodos de “tratamento de erros”.

2 como podemos definir métodos computacionais

Segundo Shokrarian (2009); “Método Computacional pode ser definido como a disciplina onde estudamos ferramentas, métodos e algoritmos numéricos para a resolução de problemas nas diversas áreas das ciências exatas.”

Quando a complexidade do problema impossibilita o avanço pela via analítica e/ou porque os cálculos numéricos são longos demais, se fazem necessárias diversas ferramentas computacionais como softwares, a fim de automatizar os cálculos.

Alguns exemplos de aplicação são: a solução numérica de equações diferenciais ordinárias, integração numérica via métodos de aproximação ou estatísticos como método de Monte Carlo, equações diferencias parciais como as equações de Maxwell e de Schroedinger, métodos matriciais para a solução de problemas de autovalor e autovetor como os encontrados na Mecânica Quântica.

3 aritmética computacional e erros computacionais

Quando realizamos cálculos manualmente, os erros de arredondamento da calculadora são desprezíveis, porque a quantidade de cálculo que podemos operar é pequena. No computador, geralmente, a quantidade de operações aritméticas que se podem realizar é muito maior do que aquelas realizadas manualmente, de forma que o erro de arredondamento do dispositivo de cálculo se torna importante.

No cálculo manual temos controle da propagação do erro porque, visualmente, estamos conferindo o resultado de cada operação aritmética ao digitá-lo na calculadora. No computador não temos como checar cada operação, tendo em vista a velocidade com a qual elas são realizadas e também pela quantidade, que impossibilita a conferência dos resultados das operações aritméticas. Desta forma, a verificação dos resultados e o controle sobre a propagação de erros em programas de computador é essencial para se atingir resultados consistentes e confiáveis.

A aritmética computacional não é a mesma coisa que a aritmética à base de lápis e papel. No cálculo manual é sempre possível monitorar os resultados intermediários e ajustar a precisão dos cálculos. Na aritmética computacional, cada número tem uma quantidade de algarismos fixas que muitas vezes podem ser inadequadas para o cálculo repetitivo.

O cálculo manual usualmente é realizado para um pequeno número de operações aritméticas, enquanto que o cálculo computacional pode envolver bilhões de operações aritméticas. Assim, pequenos erros que poderiam passar despercebidos no cálculo manual, podem arruinar completamente o resultado do cálculo computacional, por causa da acumulação e propagação de erro. Desta maneira se faz necessário desenvolver formas de “tratamento de erros” eficientes durante a criação de softwares usados no cálculo numérico.

4 softwares para cálculo numérico

Os softwares para cálculo numérico são ferramentas que possibilitam realizar cálculos que, de outra forma seriam praticamente impossíveis de serem realizados por motivo da sua extensão e complexidade. Basicamente podemos classificá-los como: Softwares Individuais, Pacotes, Bibliotecas e Sistemas de Softwares.

O Software Individual pode ser composto de alguns módulos e sua função é executar computação especifica. Podemos citar como um exemplo as calculadoras científicas que realizam desde as operações simples até algumas mais complicadas como de cálculo integral e diferencial.

Os Pacotes são uma coleção de programas que visam resolver problemas em áreas especificas. Temos um exemplo nos softwares que auxiliam a engenharia.

As Bibliotecas são uma coleção sistematizada de softwares para a resolução de diversas classes de problemas de matemática. Normalmente é composto de centenas de programas.

Os Sistemas de Software são constituídos de um Pacote ou uma Biblioteca com uma interface de comunicação com o usuário. Normalmente utiliza uma linguagem de programação especial. Exemplo: Matlab, Mathematica, Mathcad I e II, Mapple, SPSS, etc.

4.1 EXEMPLOS DE SOFTWARES PARA CÁLCULO NUMÉRICO

ü MATLAB (MATrix LABoratory) é um software interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico. Integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções são expressos somente como eles são escritos matematicamente, ao contrário da programação tradicional. Seu elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento.

ü MATHEMATICA é um programa de computador, originalmente concebido por Stephen Wolfram, que implementa um sistema de álgebra computacional. Contém diversas bibliotecas de programação prontas a serem usadas em diversos fins em várias áreas da engenharia e matemática, além de servir como um ambiente para desenvolvimento rápido de programas.

ü MATHCAD I e II é um software de matemática e engenharia que permite explorar problemas, formular idéias, analisar dados, modelar e verificar cenários, determinar a melhor solução, assim como também documentar, apresentar e comunicar os resultados. Encontra-se organizado como uma planilha, as equações e expressões podem ser apresentadas graficamente. Dentro das capacidades do MathCad se encontram: resolver equações diferenciais com vários métodos numéricos, gráfico com funções em duas ou três dimensões, cálculo de expressões simbólicas, encontrar raízes de polinômios e funções, funções estatísticas e distribuição de probabilidade, encontrar autovalores e Eigenvalores, entre outras.

ü MAPPLE é um sistema de computação algébrica de propósitos gerais que comporta a resolução de operações simbólicas, cálculos complexos, recursos para programação, geração de gráficos técnicos de alta qualidade, álgebra linear e estatística entre outros.

ü SPSS (Statistical Package for the Social Sciences – Pacote Estatístico para as Ciências Sociais) é um software do tipo científico. Inclui: aplicação analítica, Data Mining, Text Mining e estatística que transformam os dados em informações importantes e proporcionam uma redução nos custos e aumento da lucratividade. Um dos principais usos deste software é a realização de pesquisa de mercado.

5 o uso de softwares de cálculo numérico no ensino da matemática

Em relação ao ensino da matemática, as ferramentas computacionais, softwares computacionais aplicados, possibilitam o seu ensino de maneira inovadora, reforçando assim o papel da linguagem gráfica e relativizando a importância do cálculo. Segundo Bassanezi (2002);

“(…) elas constituem um meio educacional auxiliar para apoiar a aprendizagem dos alunos e permitem criar situações de aprendizagem estimulante. É outra maneira de buscar e viabilizar a construção do conhecimento, de maneira mais autônoma e independente, em um novo ambiente, onde os movimentos e as interações são diferentes e obedecem a modelos. Além disso, abrem um novo leque de possibilidades em função das inúmeras simulações que podem ser realizadas e dos questionamentos que podem ser estabelecidos.”

O uso das ferramentas computacionais pode trazer grandes benefícios ao ensino da matemática, mas para isso é necessário escolher programas adequados e uma metodologia adequada que tire proveito das características positivas do computador, como boas representações gráficas e rapidez em cálculos. Um bom exemplo desse benefício é a computação gráfica. Com a utilização de ferramentas computacionais educacionais, o aprendizado de matemática torna-se mais desafiador e prazeroso.

Dentre as ferramentas computacionais que podem ser utilizadas para se resolver problemas matemáticos existem aquelas puramente numéricas, que utilizam algoritmos bem conhecidos para encontrar soluções de equações, e existem aquelas algébricas. A principal diferença entre elas é a exatidão da resposta: na computação numérica os dados (números) são armazenados como números reais, e como a capacidade de memória dos computadores é limitada, os arredondamentos acabam afetando a precisão da resposta. Já na computação algébrica ou simbólica, como os dados são armazenados como frações e manipulados algebricamente, a precisão da resposta é total. Outra vantagem da computação algébrica é a possibilidade do uso de “fórmulas fechadas”, ou seja, a resolução de problemas literais.

6 conclusão

Em todas as áreas das ciências exatas o uso dos métodos computacionais em cálculo numérico traz enormes benefícios, já que cálculos muito longos ou complexos podem ser feitos extremamente rápido. No entanto não podemos esquecer que a criação destes softwares deve levar em conta os erros que, por ventura, puderem ocorrer e que não podem ser detectados em tempo de execução do programa. Sendo assim, um criterioso “tratamento de erros” deve ser implementado no momento da sua programação.

Com o uso dos softwares apresentados, o estudante não só lê e se informa a respeito dos conceitos do cálculo, mas também, é estimulado a “manusear” os dados ou gráficos, de modo a ter um melhor aprendizado sobre o assunto estudado. Associado ao método tradicional de ensino, o uso destes métodos computacionais pode tornar mais simples e rápido o aprendizado de muitos conceitos matemáticos importantes apresentados em salas de aula.

O mercado, os sites das universidades, os blogs de professores, entre outros disponibilizam uma grande quantidade de softwares de qualidade para cálculo numérico que podem ser “rodados” nas diferentes plataformas de Sistemas Operacionais. Estas ferramentas com certeza facilitarão a nossa vida. Agora é escolher o certo e explorar seus recursos ao máximo.

7 referências

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto. 2002.

SHOKRARIAN, Salahoddin. Tópicos em Métodos Computacionais. São Paulo: Ciência Moderna. 1º Ed. 2009.